線形代数例

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 36$

ステップ 1

方程式の両辺から $9 x^{2}$ を引きます。

$- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$

ステップ 2

$- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$36$ を $- 4$ で割ります。

$y^{2} = - 9 + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

ステップ 4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.3

$\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$- 3^{2}$ と ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

ステップ 4.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{3 x}{2}$ であり、 $b = 3$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

$3$ を $\frac{3 x}{2} + 3$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1.1

$3$ を $\frac{3 x}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 4.6.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 4.6.1.3

$3$ を $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 4.6.2

$3$ を $\frac{3 x}{2} - 3$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.2.1

$3$ を $\frac{3 x}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

ステップ 4.6.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

ステップ 4.6.2.3

$3$ を $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 4.6.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 4.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 4.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 4.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 4.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

ステップ 4.11

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.12

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

ステップ 4.13

指数をまとめます。

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ステップ 4.13.1

$9$ と $\frac{x + 2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

ステップ 4.13.2

$\frac{9 (x + 2)}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.13.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

ステップ 4.14

$\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 4.14.1

$9 (x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

ステップ 4.14.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.14.3

分数 $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

ステップ 4.15

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.16

$\frac{3}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 6

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 7.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7.4

最終解は $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 7.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 7.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

ステップ 7.6.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.6.2

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.2.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

ステップ 7.6.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

ステップ 7.6.3.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 7.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $x \geq 2$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

ステップ 9

線形代数 例

線形代数例